2.0 Das gleichschenklige Dreieck mit der Basis und der Höhe ist die Grundfläche der Pyramide mit der Spitze . Der Punkt ist der Fußpunkt der Pyramidenhöhe , die senkrecht auf der Grundfläche steht.
Es gilt:
Die untenstehende Zeichnung zeigt ein Schrägbild der Pyramide .
In der Zeichnung gilt: . liegt auf der Schrägbildachse.
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
2.1 Berechnen Sie das Maß des Winkels .
[Ergebnis: ]
2.2 Punkte liegen auf der Strecke . Die Winkel haben das Maß mit .
Zeichnen Sie den Punkt und die Strecke für in das Schrägbild zu 2.0 ein.
2.3 Durch die Punkte verlaufen zur Grundfläche parallele Ebenen, die die Kanten der Pyramide in Punkten , und und die Strecke in Punkten schneiden. Die Dreiecke sind die Grundflächen von Pyramiden mit der Spitze .
Zeichnen Sie die Pyramide und den Punkt in das Schrägbild zu 2.0 ein.
2.4 Berechnen Sie die Längen der Strecken und in Abhängigkeit von .
[Ergebnisse: ].
2.5 Berechnen Sie das Volumen der Pyramide .
Lösung anzeigen
Teilaufgabe 2.1
Maß des Winkels im rechtwinkligen Dreiecks AMC (grün) mithilfe der Trigonometrie:
|
Teilaufgabe 2.2
Zeichnung des Punktes mit
:
Trage einen -Winkel an Punkt A ab (siehe Abbildung rot).
Der Schnittpunkt mit der Höhe [DS] ist der Punkt .
Teilaufgabe 2.3
Zeichnung der Pyramide :
- Zeichne eine Parallele durch den Punkt zu [AM] (rot).
- Die Parallele schneidet [AS] in Punkt und [MS] in Punkt .
- Konstruiere dann einen -Winkel in (blau)
- (Alternativ: eine Parallele durch zu [BC].)
- Die Parallele schneidet [CS] in und [BS] in (nächste Abbildung).
- Verbinde nun alle Eckpunkte miteinander (inklusive der Spitze D).
Teilaufgabe 2.4
Länge der Strecke [] in Abhängigkeit von im rechtwinkligen Dreieck mithilfe der Trigonometrie:
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Löse nach auf.
Umformung: \cdot\overline{E_nP_n}
Umformung: \cdot (8,5-4,5\cdot\tan\varphi)
Umformung: :8,5
Ergebnis:
Teilaufgabe 2.5
Volumen der Pyramide mit:
allgemeine Formel:
Die Höhe berechnen wir wie folgt:
Die Grundfläche berechnen wir mit folgender Formel:
- (rot)
können wir mit Hilfe der Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck berechnen:
Wichtig: Wir benötigen einen Winkel, da die Dreiecke und (ebenso: und ) ähnlich sind, sind ihre Winkel ebenso gleich groß (neongrün):
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Damit ist die Seite
Einsetzen in die Volumenformel:
